Kalau disuruh jelasin apa itu turunan, mungkin agak ribet ya. Intinya, turunan atau derivatif itu adalah bagian dari kalkulus yang merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input (Wikipedia).

Turunan itu sebenernya ga ribet kalau udah ngerti rumusnya, jadi di bab ini kita bakal lebih banyak ngomongin rumus dan contoh soalnya.

Proses dalam menentukan turunan itu namanya Diferensiasi. 

Contoh:

y merupakan fungsi dari x yang artinya y = f(x). Misalkan fungsi \(f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 6x + 11\), tentukan turunan pertamanya!

RUMUS:

\(f(x) = ax^n, f'(x) = anx^{n-1}\)

Jadi, \( f'(x) = (2 \times 3 \times x^{3-1}) + (4 \times 2 \times x^{2-1}) + (6 \times 1 \times x ^{1-1}) + (11 \times 0 \times x^{0-1})\)

\(f'(x) = 6x^2 + 8x + 6\)

Selain f'(x), turunan pertama juga bisa ditulis sebagai y' atau \(dy\over dx\)

Tapi ga sampe situ aja, karena ada turunan kedua juga!

Caranya sama juga, tapi simbol penulisannya menjadi f''(x), y'', atau \(d^2y\over dx^2\)

Kalo pakai contoh diatas, turunan kedua dari fungsi \(f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 6x + 11\) adalah...

\(f'(x) = 6x^2 + 8x + 6\)

\(f''(x) = (6 \times 2 \times x^{2-1}) + (8 \times 1 \times x^{1-1}) + (6 \times 0 \times x^{0-1}) = 12x + 8 \)

Misalkan fungsi \(f(x) = (2x + 1) (x^2 - 5)\) dan kita mau cari turunan pertamanya, kita bisa menggunakan rumus khusus untuk mempermudah diferensiasi.

RUMUS:

\(f(x) = u \times v, f'(x) = u' v + u v'\)

Pertama-tama, kita anggap (2x + 1) adalah u dan (x² - 5) adalah v

u = 2x + 1, u' = 2

v = x² - 5, v' = 2x

Jadi, f'(x) = u' v + u v'

\(f'(x) = 2 \times (x^2 - 5) + 2x \times (2x + 1)\)

\(f'(x) = 2x^2 - 10 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 10\)

Kalau fungsi perkalian ada rumusnya sendiri, fungsi pembagian pasti juga ada dong. Nah rumus ini mungkin mirip sama yang sebelumnya, tapi kalian harus hati-hati dan jangan sampai kebalik saat make rumusnya.

Contoh: \(f(x) = \frac {(x^2 +3)} {(2x + 1)}\)

RUMUS:

\(f(x) = \frac u v , f'(x) = \frac{(u' v - u v')} {v^2}\)

Anggap (x² + 3) = u dan (2x + 1) = v

Maka u' = 2x dan v' = 2

Jadi, \(f'(x) = \frac{2x(2x + 1) - (x^2 + 3)(2)} {(2x + 1)^2}\)

\(f'(x) = \frac {2x^2 + 2x - 6}{(2x+1)^2}\)

Untuk kali ini mungkin kita akan lebih fokus ke rumus karena cukup banyak yang perlu dihafalkan.

RUMUS:

f(x) = a sin bx, f'(x) = ab cos bx

f(x) = cos x, f'(x) = -sin x

f(x) = tan x, f'(x) = sec²x

f(x) = cot x, f'(x) = -cosec²x

Contoh:

Cari turunan pertama dari fungsi f(x) = 2sin2x !

Jawab:

\(f'(x) = 2cos2x \times 2 = 4cos2x\)

Tenang, ini rumus terakhir. Kelihatannya banyak dan ribet, tapi lama lama pasti lancar!

RUMUS:

\(f(x) = ln(x), f'(x) = \frac 1 x\)

\(f(x) = ln(ax + b), f'(x) = \frac a {(ax + b)}\)
\(f(x) = e^{ax + b}, f'(x) = a e^{ax+b} \)

Rumus Dasar:

\(f(x) = ax^n , f'(x) = anx^{n-1}\)

Rumus Perkalian:

\(f(x) = u \times v , f'(x) = u' v + u v'\)

Rumus Pembagian:

\(f(x) = \frac u v , f'(x) = \frac {(u' v - u v')} {v^2}\)

Rumus Trigonometri:

f(x) = a sin bx, f'(x) = ab cos bx
f(x) = cos x, f'(x) = -sin x
f(x) = tan x, f'(x) = sec²x
f(x) = cot x, f'(x) = -cosec²x

Rumus Logaritma dan Eksponen:

\(f(x) = ln(x), f'(x) = \frac 1x \)

\(f(x) = ln(ax + b), f'(x) = \frac a {(ax + b)} \)

\(f(x) = e^{ax + b}, f'(x) = a e^{ax+b}\)

Nah sekarang mari kita coba mengerjakan soal!

Tentukanlah turunan dari \(f(x)= \frac {(2x-3)(x+1)}{4x^2-8x+3}\)

Mungkin hal pertama yang kalian pikirkan adalah untuk mendiferensiasikan (2x-3)(x+1) menjadi \(2\times (x+1) + (2x-3)\times 1\)

TAPI, tungggu dulu! Jangan terkecoh dengan soal yang terlihat susah

Jika kita faktorisasikan \(4x^2-8x+3\), kita dapat (2x-3)(2x-1) persamaannya menjadi

 \(f(x)= \frac {(2x-3)(x+1)}{(2x-3)(2x-1)} = \frac {(x+1)}{(2x-1)}\)

Nah kalau sudah begini lebih gampang, tinggal kita gunakan formula turunan hasil pembagian fungsi dan hasilnya adalah

\(f'(x)=\frac{(2x-1)-2(x+1)}{(2x-1)^2}\)